ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

 ΣΤΟΧΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΥ ΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

Οι επιμέρους στόχοι, οι οποίοι αφορούν την απόκτηση των κατάλληλων γνώσεων και δεξιοτήτων είναι:

·       να ανταποκρίνονται στις καθημερινές πρακτικές μαθηματικές τους ανάγκες (υπολογισμοί, μετρήσεις, επίλυση προβλημάτων)

·       να αναπτύσσουν βασικές μαθηματικές ικανότητες επικοινωνίας, αιτιολόγησης και να αναπτύξουν θετική στάση για τα μαθηματικά

·       να θεωρούν τα μαθηματικά μέρος του ελληνικού αλλά και του παγκόσμιου πολιτισμού. Να γνωρίσουν περισσότερο την ιστορία των μαθηματικών και να μπορούν από μόνοι τους να τη μελετούν και να τη συνδέουν με τα μαθηματικά που γνωρίζουν

·       να χρησιμοποιούν στα μαθηματικά τη γλώσσα για να εκφράζουν τις σκέψεις τους, να αναφέρονται σε έννοιες και ειδικούς όρους. Με αυτόν τον τρόπο θα μπορούν να επικοινωνούν με άλλους στο επίπεδο του προφορικού και του γραπτού λόγου

·       να μπορούν να συνεργάζονται και να επικοινωνούν με άλλους σε μαθηματικά θέματα αναπτύσσοντας οργανωμένη αιτιολόγηση, ορθό λόγο, ερωτήσεις, συζήτηση κτλ.

·       να αποκωδικοποιούν τα δεδομένα και να προσδιορίζουν ένα πρόβλημα, όταν παρουσιάζεται μέσα στα πλαίσια της καθημερινότητας

·       να μπορούν να εργάζονται μόνοι τους σε μαθηματικά θέματα και να μαθαίνουν μέσα από αυτήν τη διαδικασία καινούργια περιεχόμενα και έννοιες

·       να κατανοούν τις αναπαραστάσεις στοιχείων της επικαιρότητας με τα εργαλεία της στατιστικής (γραφικές παραστάσεις, διαγράμματα, ραβδογράμματα, πίνακες), καθώς και να χρησιμοποιούν τα εργαλεία αυτά στα πλαίσια των εργασιών τους

·       να κατανοούν διάφορους χρήσιμους αλγόριθμους (αλγόριθμους πράξεων, επίλυσης εξισώσεων κ.ά.)

·       να επιλέγουν το πότε και το πώς θα τους χρησιμοποιούν στα πλαίσια των σχολικών αλλά και των καθημερινών τους εργασιών

·       να προσεταιριστούν μέσα από περιστατικά που προσομοιάζουν στην πραγματικότητα τις μαθηματικές έννοιες της μεταβλητής, της συνάρτησης, όπως και έννοιες της γεωμετρίας

·       να χρησιμοποιούν τις παραπάνω έννοιες με επωφελή γι? αυτούς τρόπο

·       να διαβλέπουν τις γενικές αρχές πίσω από τα επιμέρους φαινόμενα, να μεταβαίνουν με άνεση από το ειδικό στο γενικό και αντίστροφα

·       να αντιμετωπίζουν μη συμβατικά προβλήματα, για των οποίων την επίλυση δεν έχει προβλεφθεί αλγόριθμος

·        να συνδυάζουν γνώσεις από διαφορετικούς χώρους των μαθηματικών_ να χρησιμοποιούν τις μαθηματικές γνώσεις και τεχνικές σε διαθεματικές δραστηριότητες

·       να συνειδητοποιούν τον ιδιαίτερο τρόπο με τον οποίο μαθαίνουν (μεταγνωστική ικανότητα), γεγονός που θα τους επιτρέπει να αυτοαξιολογούνται και να προχωρούν με μεγαλύτερη ευκολία σε νέες γνώσεις

·       να βελτιώσουν την συγκρότηση και την τεκμηρίωση της λογικής σκέψης τους, έτσι ώστε να προάγεται η ικανότητά τους να επικοινωνούν μέσω επιχειρημάτων στην καθημερινή ζωή τους

Σύμφωνα με τους σκοπούς και τους επιμέρους στόχους του αριθμητισμού στα πλαίσια του ΣΔΕ, προτείνονται οι παρακάτω θεματικές ενότητες, από τις οποίες θα αντληθούν τα θέματα που θα μελετηθούν. Προφανώς το περιεχόμενο και τα θέματα επεξεργασίας και μελέτης μπορούν να μεταβάλλονται και να προσαρμόζονται στις ικανότητες, τις προϋπάρχουσες γνώσεις και δεξιότητες και τα ενδιαφέροντα των εκπαιδευομένων. Για τον προσδιορισμό των περιεχομένων έχουν ληφθεί υπόψη αντίστοιχα προγράμματα αριθμητισμού στην Αμερική (Curry, D., κ.ά., 1996, TheABEMathStandardsProject: 1994). Ο χωρισμός των παρακάτω ενοτήτων δεν σημαίνει ότι οι έννοιες αυτές είναι ξεκομμένες και δεν μπορεί να αντιμετωπίζονται από κοινού. Ο διαχωρισμός έγινε για λόγους που σχετίζονται με την οργάνωση παρουσίασης.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΥ ΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

1. Αριθμοί, πράξεις και εκτιμήσεις

Στη σημερινή κοινωνική πραγματικότητα ο άνθρωπος έρχεται καθημερινά σε επαφή με τους αριθμούς και τις πράξεις. Για το λόγο αυτό απαιτείται από τον ενήλικα μια εννοιολογική κατανόηση των αριθμών, των αρχών του δεκαδικού αριθμητικού συστήματος και των αριθμητικών πράξεων αλλά και μια διαδικαστική γνώση των τεχνικών του υπολογισμού. Στη διδασκαλία θα πρέπει να δίνονται πολλές δραστηριότητες και ευκαιρίες, ώστε ο εκπαιδευόμενος να αναπτύξει την έννοια των αριθμών και των μεταξύ τους σχέσεων. Όταν μιλάμε για αριθμούς εννοούμε τους φυσικούς, τους ακέραιους, τους κλασματικούς, τους δεκαδικούς και τα ποσοστά. Στη μαθηματική γλώσσα εννοούμε τα σύνολα των φυσικών, ακεραίων και ρητών αριθμών. Οι εκπαιδευόμενοι θα πρέπει να είναι ικανοί να γράφουν, να διαβάζουν και γενικά να χειρίζονται τους αριθμούς και τις πράξεις στα πλαίσια διαφορετικών καταστάσεων. Οι υπολογισμοί των πράξεων μπορεί να γίνονται μέσα σε διαφορετικά πλαίσια, όπως με μολύβι και χαρτί (γραπτοί υπολογισμοί), νοεροί υπολογισμοί και οι υπολογισμοί με υπολογιστή τσέπης (κομπιουτεράκι). Οι υπολογισμοί αυτοί σε διαφορετικά πλαίσια απαιτούν κάθε φορά για την πραγματοποίησή τους και διαφορετικές τεχνικές και ικανότητες.

Η διαδικασία της εκτίμησης είναι, προφανώς, αυτή που χρησιμοποιείται πιο συχνά και είναι η πιο χρήσιμη στην καθημερινή ζωή των ανθρώπων. Η εκτίμηση είναι μια άτυπη μέτρηση που βασίζεται στην εμπειρία και τις γνώσεις των ατόμων και βοηθάει στην ανάπτυξη της σημασίας των αριθμών, των πράξεων και των ικανοτήτων του υπολογισμού.

Πολλές καθημερινές καταστάσεις δίνουν την ευκαιρία για τη χρήση των αριθμών, των πράξεων, αλλά και την πραγματοποίηση εκτιμήσεων. Για παράδειγμα, οι αγορές, οι εκπτώσεις, οι πληρωμές λογαριασμών, οι τραπεζικές συναλλαγές, το χρηματιστήριο δίνουν την αφορμή για προσθέσεις, αφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις, τον υπολογισμό των τόκων, των επιτοκίων, των κερδών με τη χρήση των ποσοστών κτλ. Τα αποτελέσματα των διαφόρων μετρήσεων στις περισσότερες περιπτώσεις δεν είναι ακέραιοι αριθμοί και, έτσι, είμαστε υποχρεωμένοι να κάνουμε τις μετατροπές και να υπολογίσουμε με δεκαδικούς αριθμούς. Επίσης η χρήση του νομίσματος του ευρώ, σε αντίθεση με τη δραχμή, θα μας αναγκάσει να κάνουμε μετατροπές και υπολογισμούς με τη χρήση δεκαδικών αριθμών. Θα χρησιμοποιούμε καθημερινά στις τιμές και τους υπολογισμούς τις δύο δεκαδικές υποδιαιρέσεις, τα δέκατα και τα εκατοστά.

Συμπερασματικά, μπορούμε να περιγράψουμε παρακάτω κάποιους από τους βασικούς ειδικούς στόχους στο χώρο των αριθμών, των πράξεων και των εκτιμήσεων, οι οποίοι θα κάνουν ικανούς τους εκπαιδευομένους:

- να καταλαβαίνουν τη σημασία, να αναπαριστούν συμβολικά και να μετατρέπουν τους αριθμούς (φυσικούς, ακέραιους, κλασματικούς, δεκαδικούς, ποσοστά, δυνάμεις) από το ένα είδος στο άλλο μέσα σε πραγματικές καταστάσεις προβλημάτων

- να είναι ικανοί να υπολογίζουν χρησιμοποιώντας τα διάφορα είδη αριθμών που περιγράψαμε παραπάνω. Να εκτελούν τους τυπικούς αλγόριθμους, να υπολογίζουν με το χαρτί και το μολύβι, με νοερό τρόπο και με υπολογιστή τσέπης

- να γνωρίζουν και να χρησιμοποιούν στη λύση προβλημάτων και σε καθημερινές καταστάσεις τις διάφορες ιδιότητες των πράξεων στα διαφορετικά σύνολα αριθμών, όπως αντιμεταθετική ιδιότητα, επιμεριστική ιδιότητα κτλ.

- να μπορούν να αντιλαμβάνονται και να υπολογίζουν καταστάσεις στις οποίες συμπεριλαμβάνονται αναλογίες

- να κάνουν εκτιμήσεις για να αναπτύξουν την σημασία των αριθμών και των πράξεων και για να ελέγχουν την αληθοφάνεια των αποτελεσμάτων σε αγοροπωλησίες, αποτελέσματα υπολογιστών κτλ.

- να ανακαλύψουν και να αναπτύξουν διάφορες τεχνικές και στρατηγικές εκτίμησης για τους ακεραίους, τους δεκαδικούς, τους κλασματικούς και τα ποσοστά

- να αναγνωρίζουν σε ποιες καταστάσεις της ζωής είναι κατάλληλη και χρήσιμη η εκτίμηση.

2. Άλγεβρα

Όταν κάποιος ενήλικας προσπαθεί να επαναφέρει στη μνήμη του τι σημαίνει για αυτόν άλγεβρα, συνήθως θυμάται κάποιους γενικούς τύπους, μεθόδους επίλυσης εξισώσεων, τους συμβολισμούς των μεταβλητών χ και ψ κτλ. Για αρκετούς μαθητές, ίσως, η άλγεβρα να αποτέλεσε ανυπέρβλητο εμπόδιο στη μαθηματική τους εκπαίδευση, το νόημα της οποίας δεν μπόρεσαν ποτέ να καταλάβουν. Η άλγεβρα μπορούμε να πούμε ότι είναι μια γενική, συμπυκνωμένη και σύντομη γλώσσα των μαθηματικών. Εκφράζει σχέσεις και γενικές σημασίες μέσω των τύπων. Αποτελεί μια συνέχεια της αριθμητικής προς πιο πλατιές και γενικευμένες μαθηματικές καταστάσεις. Στην αριθμητική έχουμε συγκεκριμένους αριθμούς και οι καταστάσεις που διαπραγματευόμαστε αφορούν κάποια ειδική περίπτωση κάθε φορά. Η άλγεβρα χρησιμοποιεί τους γενικευμένους αριθμούς (μεταβλητές) και ασχολείται με καταστάσεις γενικές. Απαιτείται χρόνος και λεπτός διδακτικός χειρισμός για μια ομαλή γνωστική μετάβαση του εκπαιδευομένου από την αριθμητική στην άλγεβρα.

Επικρατεί, ίσως, σε πολλούς η αντίληψη ότι η άλγεβρα δεν έχει πρακτικές εφαρμογές και ότι δεν είναι χρήσιμη. Στη σύγχρονη ζωή, όλο και περισσότερο, χρησιμοποιούνται τα περιεχόμενα και το λεξιλόγιο της άλγεβρας. Λέμε στην καθημερινή γλώσσα «είναι συνάρτηση πολλών παραγόντων», «οι θερμοκρασίες θα έχουν αρνητικές τιμές».

Πολλά καθημερινά φαινόμενα δίνουν τη δυνατότητα να συνδεθούμε με έννοιες, όπως οι μεταβλητές, οι εξισώσεις, οι συναρτήσεις και τα γραφήματα.

Η διδασκαλία της άλγεβρας στο ΣΔΕ δεν μπορεί να ακολουθήσει ένα φορμαλιστικό και απομακρυσμένο από τις εμπειρίες και γνώσεις του μαθητή δρόμο. Στη διδασκαλία της άλγεβρας πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τις προϋπάρχουσες γνώσεις των εκπαιδευομένων και να κινηθούμε σε καταστάσεις της καθημερινότητας, οι οποίες μας οδηγούν σε γενικευμένες σχέσεις και τύπους. Τα βήματα από το ειδικό προς το γενικό πρέπει να γίνονται σταδιακά και ομαλά, μέσα από καταστάσεις που έχουν νόημα για τον εκπαιδευόμενο.

Περιγράφουμε παρακάτω κάποιους από τους ειδικούς στόχους στο χώρο της άλγεβρας. Οι εκπαιδευόμενοι θα πρέπει να είναι ικανοί:

- να μοντελοποιούν πραγματικές καταστάσεις της καθημερινής ζωής και να τις αναπαριστούν με μεταβλητές, εξισώσεις, συναρτήσεις, πίνακες, γραφήματα κτλ.

- να λύνουν εξισώσεις πρώτου βαθμού με μία ή δύο μεταβλητές και εξισώσεις δευτέρου βαθμού χρησιμοποιώντας άτυπες και τυπικές μεθόδους

- να ερμηνεύουν την πραγματική σημασία και την εφαρμογή των αλγεβρικών αποτελεσμάτων και γενικά των αλγεβρικών συμβολισμών

- να χρησιμοποιούν τη νέα τεχνολογία για να επεξεργάζονται δεδομένα και αλγεβρικούς τύπους.

3. Στατιστική και πιθανότητες

Οι ενήλικοι καθημερινά έρχονται σε επαφή με πληροφορίες και δεδομένα που σχετίζονται με τη στατιστική και τις πιθανότητες. Εκλογικά σοντάζ, πίνακες με στατιστικά δεδομένα για την υγεία, την οικονομία, προβλέψεις γεγονότων και τυχερών παιχνιδιών.

Αναγκάζονται να διαβάσουν πίνακες, γραφήματα κ.ά. για να αντλήσουν χρήσιμες πληροφορίες, πρέπει να κάνουν προβλέψεις, να βγάλουν μέσους όρους κτλ. Η συλλογή, ανάλυση και γραφική αναπαράσταση δεδομένων είναι χρήσιμη για την δουλειά, αλλά και την καθημερινή ζωή του ατόμου. Τα δεδομένα, όταν παρουσιάζονται με τη στατιστική σε πίνακες ή με γραφικές παραστάσεις, είναι πιο εύκολο να κατανοηθούν.

Στη διδασκαλία οι ενήλικοι χρειάζονται πολύ περισσότερα από την απλή ανάγνωση και την αποκόμιση κάποιων πληροφοριών σε πίνακες και γραφήματα. Πρέπει να οδηγηθούν σε τέτοιες καταστάσεις ώστε να συλλέξουν δικά τους δεδομένα και να κατασκευάσουν τους δικούς τους πίνακες και γραφικές παραστάσεις. Με το να σχεδιάζουν τους δικούς τους πίνακες καταλαβαίνουν πώς μπορούν να παρουσιαστούν οργανωμένα τα δεδομένα.

Η διδασκαλία λοιπόν των ενηλίκων στη στατιστική και τις πιθανότητες θα πρέπει να περιέχει, εκτός των άλλων, και τους παρακάτω στόχους, ώστε αυτοί να γίνουν ικανοί:

- να συλλέγουν συστηματικά, να οργανώνουν και να περιγράφουν δεδομένα

- να κατασκευάζουν, να διαβάζουν πληροφορίες και δεδομένα και να χρησιμοποιούν τους πίνακες και τις γραφικές παραστάσεις

- να ελέγχουν την εγκυρότητα και την αλήθεια συμπερασμάτων που βγαίνουν από την επεξεργασία δεδομένων

- να έχουν μια αντίληψη της πιθανότητας να συμβούν κάποια γεγονότα, όπως σε τυχερά παιχνίδια, συμβάντα κτλ.

4. Γεωμετρία, Χώρος και Μετρήσεις

Η γεωμετρία είναι ένα μάθημα που διδάσκεται από τότε που υπάρχει οργανωμένη εκπαίδευση σε όλες τις βαθμίδες. Τα γεωμετρικά σχήματα είναι ιδεατά κατασκευάσματα του ανθρώπινου νου, εμπνευσμένα από τα αντικείμενα της πραγματικότητας. Τα γεωμετρικά σχήματα είναι όντως ιδεατά και δεν μπορεί να υπάρξουν στην πραγματικότητα. Πράγματι, αν πάρουμε ένα τετράγωνο, αυτό αποτελείται από τις τέσσερις πλευρές του, οι οποίες είναι ευθύγραμμα τμήματα τα οποία είναι μονοδιάστατα χωρίς πάχος. Στη φύση όμως δεν μπορεί να υπάρξει ένα τέτοιο αντικείμενο, το οποίο να είναι μιας διάστασης και να μην έχει καθόλου πάχος. Άρα, το γεωμετρικό αυτό σχήμα είναι ιδεατή αναπαράσταση της μορφής κάποιων αντικειμένων της πραγματικότητας. Οι ενήλικοι από την καθημερινή τους ζωή διαθέτουν πάρα πολλές εμπειρίες από το περιβάλλον τους, οι οποίες είναι σχετικές με τη γεωμετρία και το χώρο.

Χρησιμοποιούμε, περιγράφουμε και μετρούμε διάφορα αντικείμενα με βάση το σχήμα τους, βάφουμε ή καλύπτουμε τοίχους με τουβλάκια κτλ. Χρησιμοποιούμε, δηλαδή, άτυπα τους κανόνες και τις ιδιότητες που διέπουν τυπικά τη γεωμετρία. Στη διδασκαλία των ενηλίκων πρέπει να δοθεί έμφαση σε δραστηριότητες στις οποίες μπορεί κάποιος να χειριστεί τις έννοιες και τις ιδιότητες της γεωμετρίας. Τέτοια μπορεί να είναι κάποια προγράμματα σε υπολογιστές, όπου μπορεί κάποιος να επεξεργάζεται τη φύση και τις ιδιότητες τρισδιάστατων και δυσδιάστατων γεωμετρικών σχημάτων. Μπορούμε να προτείνουμε εμπειρικές καταστάσεις λύσης προβλήματος, οι οποίες επιτρέπουν την πραγματική παρατήρηση φαινομένων που προκύπτουν από την αλλαγή κλίμακας, γωνιών, μέτρου κτλ.

Η μέτρηση είναι μια από τις βασικές καθημερινές διαδικασίες. Πραγματοποιείται στο εργασιακό περιβάλλον, στο σπίτι, στην ψυχαγωγία κτλ. Για παράδειγμα, σε ένα ταξίδι μετρούμε τις αποστάσεις που διανύουμε, το χρόνο ή την κατανάλωση της βενζίνης.

Αρκετοί, όμως, ενήλικοι συναντούν δυσκολίες στο να επιλέξουν και να προσδιορίσουν την κατάλληλη μονάδα και όργανο μέτρησης. Δυσκολεύονται επίσης στις μετατροπές των μονάδων του ίδιου μέτρου μέτρησης. Κατά τη διάρκεια της διαδικασίας της μέτρησης πραγματοποιούμε εκτιμήσεις, καθώς προσπαθούμε να προσεγγίσουμε με ακρίβεια. Η εξάσκηση στις εκτιμήσεις βοηθάει τους εκπαιδευομένους να αποκτήσουν μια πρώτη κατανόηση του μεγέθους ή της ποσότητας. Όταν χρησιμοποιούμε εργαλεία μέτρησης και μετρούμε σε πραγματικές καταστάσεις, τότε βρισκόμαστε μπροστά σε γεωμετρικές έννοιες, τις οποίες θα πρέπει να γνωρίζουμε. Τέτοιες έννοιες είναι η περίμετρος, το εμβαδόν, ο όγκος των σχημάτων κ.ά.

Σε ένα πρόγραμμα διδασκαλίας ενηλίκων σχετικά με τη γεωμετρία, το χώρο και τις μετρήσεις θα πρέπει να εμπεριέχονται οι παρακάτω στόχοι οι οποίοι επιτρέπουν στους εκπαιδευομένους:

- να εφαρμόζουν τη γεωμετρία σε εμπειρικές καταστάσεις και να τη χρησιμοποιούν για να αναλύουν και να περιγράφουν περιπτώσεις της τέχνης και της επιστήμης που σχετίζονται με αυτήν

- να διακρίνουν και να εφαρμόζουν τις γεωμετρικές ιδιότητες στον μίκρο? χώρο, μέσο? χώρο και μάκρο? χώρο

- να γνωρίζουν τις ιδιότητες, να συγκρίνουν μεταξύ τους, να ορίζουν και να ταξινομούν τα γεωμετρικά σχήματα

- να χρησιμοποιούν και να εφαρμόζουν τους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς για να δημιουργούν και να αναλύουν σύνθετα γεωμετρικά της τέχνης και της καθημερινότητας

- να χρησιμοποιούν προγράμματα ηλεκτρονικού υπολογιστή για να μελετήσουν και να χειριστούν περιεχόμενα της γεωμετρίας και έννοιες του χώρου

- να μετρούν, εφαρμόζοντας γεωμετρικές έννοιες στις περιμέτρους, τα εμβαδά, τους όγκους και τις γωνίες

- να πραγματοποιούν μετρήσεις, επιλέγοντας τις κατάλληλες μονάδες και τα κατάλληλα εργαλεία μέτρησης που απαιτούνται σε κάθε περίπτωση

- να πραγματοποιούν εκτιμήσεις αλλά και ακριβείς μετρήσεις με το βαθμό ακρίβειας που απαιτείται κάθε φορά

- να κατανοούν τις σχέσεις και να μπορούν να μετατρέπουν και να συσχετίζουν τις μονάδες που προέρχονται από διαφορετικά συστήματα μέτρησης.